АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ МАХОВОГО ДВИЖЕНИЯ

Цели сделанного ниже анализа уравнения махового движения лопас­тей заключаются в выяснении двух вопросов: а) в каких случаях при изучении динамики полета вертолета допустимо определять маховое дви­жение лопастей без учета их собственного движения, т. е. без учета обще­го решения уравнения (1.48); б) допустимо ли при расчетах динамики по­лета определять коэффициенты махового движения лопастей без учета ус­корений вала винта. Ответ на эти вопросы является обоснованием приня­того метода моделирования динамики вертолета.

Для простоты анализ сделан для винта без разноса горизонтальных шарниров и компенсатора взмаха на режиме висения в предположении, что вертолет совершает колебания в одной плоскости, например в плос­кости тангажа. В этом случае по линейной теории

и уравнение махового движения имеет вид

*2(3Л I-	У л d@n	+ Рл = — 2 шгн sin + (^- 4
d*l	4 с! ф„
d<j)ZH <?фл	)cos ^n.

vz к

		ч>		8
Тп	(	— +	~)	+ — C0ZH cos Фл + “zH Sin ‘Рл	(1.55)
		4	3	Ул
или		9	л.	8	(1.56)
До = Ул	(	— +		«1 =———— wZH ; bt = — wZH.
	4	3	^л

В дальнейшем МЛ. Милем были выведены аналогичные зависимости для случая гармонических колебаний вертолета [17] (коэффициент а0 определяется по выражению (1.56) и ниже не рассматривается) :

Формулы (1.56) или (1.57) используются в расчетах динамики вер­толета. Однако если величина массовой характеристики лопасти ул мала (~1,0 или меньше), то эти формулы приводят к погрешностям расчета (см. ниже, табл. 1.1). В предельном случае, когда ул = 0,по формулам Ді = в то время как лопасть, на которой не возникают аэродинами­ческие силы, так же, как гироскоп, не изменяет свое положение в прост­

ранстве при поворотах вала несущего винта, т. е. а, = — $,——————— ^,н.

4Фп

При малых 7Л решение уравнения махового движения нужно искать, как это сделано А. П. Проскуряковым, считая а, и bt функциями времени:

dbi

— fci) cos фя + (—————— + оi) sin фя

d*n

г Подставляя выражения /3„, dP„/dfin и d2 (^/<1ф2л в уравнение (1.54) и приравнивая коэффициенты при cos фл и sin фл в правой и левой его частях, получим систему двух дифференциальных уравнений:

Здесь л = 7л/4. Оценим величину членов уравнения (1.59) в рассматри­ваемом случае малых частот и инкрементов нарастания амплитуды угло­вой скорости со2Н, что характерно для вертолета. При таких условиях можно принять coZH = A sin (р фп ), где р — частота колебания вертолета, отнесенная к шн. Для оценки величины членов выражений (1.58), (1.59) воспользуемся уравнениями (1.56) или (1.57). Когда рил малые вели­чины одного порядка, то первые два слагаемых выражения (1.59) на два порядка меньше остальных, следовательно, коэффициент aj опреде­ляется уравнением

2—— — + па і = -2согн. (1.60)

^ л

Это уравнение при обычных величинах ул, когда п > р, превращается в формулу (1.56), а при п = 0 — в уравнение гироскопа. Уравнение (1.58), определяющее коэффициент b і, также может быть упрощено:

Теперь сравним общие решения уравнения (1.60) и системы уравнений (1.58) , (1.59). Корень уравнения (1.60), очевидно, равен

п

X = — — 2

У системы (1.58), (1.59) характеристическое уравнение имеет вид

X2 + лХ 2Х + л

— (2Х + л) X2 + лХ

Преобразуем уравнение (1.63) таким образом:

(X2 + лХ)2 + (2Х + л)2 = (X2 + лХ)2 — і2 (2Х + л)2 =

= [X2 + Х(л — 2г) — г’л][Х2 + Х(л — 2г) + гл] = 0. (1-64)

Из выражения (1.64) следует, что корни характеристического урав­нения (1.63)

(1.65)

Из формул видно, что декремент затухания собственного движения лопасти равен п(2. При больших п собственное движение затухает очень быстро. Поэтому для расчетов устойчивости при больших 7Л формулы (1.56) и (1.57) справедливы. При малых п корни приближенно равны

^1 2 ~ —— і І3 4 ^—————— 2І. (1.66)

2 2

Вторая пара корней соответствует изменению коэффициентов о, и Ь і с очень большой частотой. Это движение лопастей не оказывает влия­ние на движение вертолета. Первая пара корней соответствует почти апе­риодическому изменению коэффициентов махового движения, которое достаточно точно описывается уравнением (1.60). Таким образом, прибли­женное уравнение (1.60) определяет как частное решение, так и основ­ную для динамики вертолета составляющую общего решения уравнения махового движения лопастей.

Рассмотрим результаты расчета корней Х/сон характеристического уравнения типичного вертолета, имеющего несущие винты с разной вели­чиной массовой характеристики лопастей 7Л (табл. 1.1). Лопасти обыч­ных несущих винтов вертолетов имеют на уровне моря 7Л = 5 … 7. У ре­активных вертолетов с тяжелыми двигателями на концах лопастей 7Л — 0,5 … 1,5. Существенно меньшую величину 7П, предположительно меньше 0,1, имел серворотор Хиллера, так как небольшие по площади, малого удлинения лопатки создавали очень малую подъемную силу. У гиростабилизаторов вертолетов Белл коэффициент, характеризующий соотношение моментов вязкого демпфера и инерционных сил штанги, аналогичен 7„; он также мал по величине. Расчеты сделаны при разных вариантах определения коэффициентов махового движения: из системы дифференциальных уравнений (1.58), (1.59), по уравнениям (1.56), (1.57),по упрощенному дифференциальному уравнению (1.60). Из табл. 1.1 видно, что для вертолета с обычным несущим винтом (7Л ~ 5) при опреде­лении коэффициентов махового движения можно считать, что в каждый момент времени коэффициенты махового движения равны их устано­вившимся значениям при параметрах вертолета в данный момент време­ни. Видно также (см. вторую и третью строки), что пренебрежение уско­рением движения вала в формуле (1.57) не вносит важного для динами­ки вертолета изменения корней характеристического уравнения. Это явля-

Корни характеристического уравнения вертолета (X/ojh) Уравнения для определения а, Ьх 7Л 5 1 0,1 (1-58), (1.59) 0,00232 ± 0,0188/ -0,0615 -0,600 ± 0,238/ -0,622 ± 1,78/ -0,000849 ± 0,00896/ -0,0635 ±0,17/ -0,124 -0,124 ± 0,199/ -0,00101 ± 0,00266/ -0,0063 ±0,18/ -0,0125 -0,0126 ± 21 (1.56) -0,00243 ± 0,0187/ -0,0589 -0,000529 ± 0,00896/ -0,26 -0,00068 ± 0,0028/ -2,6 (157) 0,00217 ± 0,019/ -0,0652 -0,000857 ±0,00893/ 0,234 -0,00069 ± 0,00057/ 0,126 (1.60) 0,00225 ± 0,0189/ -0,0638; -0,568 -0,000854 ± 0,00896/ -0,0626 ± 0,169/ -0,00101 ± 0,00266/ -0,00625 ± 0,18/

ется обоснованием принятого метода моделирования: учитываются толь­ко установившиеся значения коэффициентов махового движения и соот­ветствующие им силы и момента несущего винта, а ускорение вала винта не учитывается. Однако (об этом будет сказано в разд. 2.1) при модели­ровании, в соответствии с [ 14 ], предполагается, что коэффициенты махо­вого движения, силы и моменты устанавливаются после некоторого пере­ходного процесса.

Для вертолетов с винтами, имеющими малые значения 7П, коэффи­циенты махового движения должны определяться из дифференциальных уравнений. Действительно (см. табл. 1.1), корни характеристического уравнения вертолета при использовании для определения а алгебраичес­ких уравнений (1.56) или (1.57) количественно и качественно неверны. Однако взамен системы уравнений (1.58), (1.59) могут рассматривать­ся простейшие дифференциальные уравнения первого порядка (1.60), (1.61). Таким образом, если вертолет имеет лопасти с ул < 1,0, то при­нятый метод моделирования не применим, так как маховое движение лопастей должно определяться совместно с движением вертолета. Если же вертолет имеет несущий винт с общепринятой величиной ул и серво­ротор, то можно учитывать только установившиеся значения коэффици­ентов махового движения несущего винта (т. е. использовать принятый метод моделирования), а углы ai} Ь1 серворотора, следовательно, цикли­ческое изменение угла установки несущего винта, определять по уравне­ниям (1.60), (1.61).

Результаты расчетов коэффициентов махового движения (а также сил и моментов несущего винта — см. разд. 1.4, 1.5) целесообразно пред­ставлять в виде зависимостей от Fj, H или для нескольких значений угла установки (общего шага) 8’0. При этом FH = const, и одна из угловых скоростей, например сохн = 0; для каждого 5{j строятся кривые для нес­кольких со2Н. Такой график в виде, иллюстрирующем основные законо­мерности зависимостей, показан для коэффициента ах на рис. 2.13. Вы­бор в качестве переменной угла атаки а& или VyH объясняется большей оп­ределенностью величины ад: при всех скоростях полета а’н изменяется в одинаковых пределах, приблизительно ±30°, диапазон же измене­ния величины VyH переменен в зависимости от VXH. При скоростях VH <. 100 км/ч характеристики несущего винта определяются в зависи­мости от VyH.

Расчеты делаются при 6В = 5 к = 0, поэтому результаты обозначены штрихами. Используются они для определения коэффициентов махового движения при произвольных 6В, бк следующим образом. При известных VpH, VyH (или FH, ан) по формулам (1.2), (1.3) находятся VyH (или ан)> So, затем по результатам расчетов определяются а0, а, Ь, которые

Это объясняется тем, что в0 пропорционален среднему значению момента от элементарной тяги относительно горизонтального шарнира. Отметим, однако, что при малых /н и 50 тяга в комле лопасти направлена вверх, а на конце — вниз, так что встречаются случаи, когда tH > 0, а интег­рал от моментов dtH(F — /г) и, следовательно, в0 отрицательны. Напри­мер: Тн = 0,02, б0 = 2°,в0 = — 1,5°. Кривые в0, как и tH (рис. 1.1, 2.9), имеют участки интенсивного и слабого увеличения в0 при росте а’н. Пер­вый участок соответствует досрывному обтеканию несущего винта, а вто­рой — срывному (деление кривых на участки см. в разд. 1.4.4). Макси­мальные значения в0 равны 5 … 7° при cjzh = 0 и 7 … 9° при согн = 0,02.

Коэффициент а (см. рис. 2.13) растет при увеличении <*в. Он также возрастает при увеличении 60, т. е. при увеличении тяги винта. В качест­
ве примера величины а и других коэффициентов в зависимости от ojZfl приведены в табл. 1.2 для 50 = 9° и в табл. 1.3 для б0 = 16°. Таблицы составлены для со*.н = 0 и двух условий: режим соответствует границе срыва и гн = 0. При постоянной тяге а тем больше, чем больше б0- Ин­тенсивно увеличивается а на срывных участках: на Ун — 300 км/ч при углублении в срыв на Дад — 5° прирост а составляет ~3°. Угловая ско­рость кабрирования (пикирования) вертолета существенно изменяет

а. Как было показано МЛ. Милем_(при к = 0 см. (1.52), и при к Ф 0 [17]) в результате кабрирования (coZH > 0) а уменьшается, что приво­дит к уменьшению продольной силы винта и его момента, следователь­но, к уменьшению продольного момента винта относительно центра тя­жести вертолета. Таким образом, винт создает момент, демпфирующий движение вертолета. Численно величина прироста а от согн не существен­но отличается от получаемого по формуле М. Л. Миля, но на срывных участках прирост примерно в 2 раза больше (см. также разд. 1.4.2), что объясняется изменением ан ср.

Таблица 1.2 Пара- метры Угловая скорость ы2И -0,02 0 0,02 -0,02 0 0,02 ГН 0,16* 0,2* 0,25* 0 0 0 1 а і 8,5 7 5 5 3 0 йн 0,026 0,028 0,028 0,0059 0,0091 0,014 тпроф 0,009 0,01 0,011 0,008 0,008 0,008

Таблица 1.3 Пара- метры Угловая скорость cj2h -0,02 0 0,02 -0,02 0 0,02 ‘н 0,16* 0,2* 0,25* 0 0 0 г «і 13,5 12 9 7,5 5 2,5 0,039 0,042 0,044 0,0046 0,01 0,015 тпроф 0,017 0,017 0,017 0,0067 0,0067 0,0067 * Граница срыва

Величина коэффициентов махового движения лопастей определяет расстояние от лопастей до фюзеляжа вертолета, до упоров махового дви­жения. Угол между лопастями и хвостовой частью (фл = О) фюзеляжа Рло — во — «і (рис. 1.12). Видно, что в основном < 0, г. е. при неот — клоненном автомате перекоса при фл « 0 лопасти находятся ниже плос­кости вращения. Резкое уменьшение 0ЛО, т. е. сближение лопастей с хвос­товой балкой, происходит на срывных режимах, однако на этих режимах несущий винт создает большие кабрирующие моменты, так что летчик отклоняет ручку вперед и величина /Зло = 0ло + Dx 5В + йг 5К сущест­венно увеличивается; если же летчик все-таки отклонит ручку назад (это на очень короткое время возможно), то лопасть ударит по хвостовой балке. Величина 0’ло также уменьшается при уменьшении тяги несущего винта, так как а убывает медленнее, чем а0. Видно, например, что если во время маневра вертолета ан = —20°, So = 9° (при этом тяга несущего винта достигает значения Г = 0), то ffno = -4° при согн = 0 и /Зл0 = = — 7° при coZH = —0,02. Если Т = 0,моменты несущего винта относитель­но центра тяжести вертолета малы, из-за чего летчик может отклонить ручку автомата перекоса до предельной величины назад, при этом также возможен удар лопасти по хвостовой балке.

Положение лопастей около носовой части фюзеляжа (Фл = 180°) определяется величиной 0л 180 ^ а0 + а1 (рис. 1.13). Видно, что при неот — клоненном автомате перекоса лопасти находятся вблизи плоскости вра­щения при малых тягах и углах установки винта. Как сказано выше, при Т = 0 в полете возможны любые отклонения автомата перекоса, следо­вательно, при предельном отклонении ручки вперед лопасть может доста­точно низко опуститься в районе носовой части фюзеляжа. Рис. 1.13 также позволяет оценить максимальный угол взмаха лопасти вверх. Более под­робно проблема определения предельных положений лопасти при факти­чески встречающихся сочетаниях а’н, 5’0, oj2H на разных скоростях полета обсуждается ниже, в разд. 3.3.

Рис. 1.12. Зависимость угла взмаха лопасти отоф> 6’0, и>гн- <Чгн = Фл — 0; ———————— и>7Н = 0; <^гн = 0,02; — ■ — wzH = -0.02

Рис. 1.13. Зависимость угла взмаха лопасти от а’н, 5’0, oj2H: ыхн ~ = 180 — ы2ц = 0; — — — оjzh ~ 0,02; — • — ~ ~ 0,02

Коэффициент Ъі для винта с регулятором взмаха к = 0,5 мал, изме­няется на досрывных режимах в пределах от 1° до — 2°. При углублении в зону срыва он отрицателен и возрастает по абсолютной величине. Угло­вая скорость поворота вала винта сохн изменяет величину Ъ в сторону, противоположную ссхн, благодаря чему движение вертолета демпфирует­ся. В досрывной и срывной областях прирост Ъ в результате появления wxh разный. Отметим, что величина Ь на срывных режимах определяет­ся в основном циклическим изменением угла установки лопасти, рав­ным <Pic = Kfl’i — На режимах вихревого кольца (см. разд. 3.4) маховое движение лопастей увеличивается. Оно должно быть определено экспери­ментально, на моделях.